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一个梯形,只知道四边的边长,怎么求梯形的面积是多少?

初中教育 来源:未知 编辑:楠哥 2019-10-09 11:11:57 浏览:

  一个梯形,只知道四边的边长,怎么求梯形的面积是多少?梯形作为一种比较特殊的四边形,唯一的特点就是有一组对边是平行的。也正是因为这个特点,梯形便具有了一些特殊的性质。在弄清楚梯形面积之前,我们需要先知道,是不是给定梯形的四条边长就能确定这个唯一梯形,以及梯形的面积?看下图:

一个梯形,只知道四边的边长,怎么求梯形的面积是多少?

  如图,梯形ABCD,AD〃BC,过D作DE〃AB,交BC与于E,则四边形ABED是个平行四边形,DE=AB,CE=BC-BE=BC-AD,在三角形CDE中,三条边都定了,则这个三角形也确定了,倒推过去,这个梯形也定了。题中给出的三角形CDE是个锐角三角形,如果是直角或钝角三角形也一样,读者可以自己试着画下。

  上述过程,得出的结论是,给定四边,可以确定梯形,梯形确定了,其面积也就定了。上述过程不是我为了凑字数,而是确实在数学思维中很重要。数学是个严谨的过程,平时马虎不得,平时注重了,遇到问题,就能形成条件反射,这同时需要对相关知识系统了解,如给出四边形的4边,一下想到四边形的不稳定性,立马给自己提个问题:这个梯形是否能确定?

  再回到题本身,该怎么求面积呢,梯形上下底直接给出了,只要求出高就可以了。还是在三角形CDE中,如果高中,用余弦定理,就可以直接求出∠DEC的余弦值,进而利用DE边求出高。或者海伦公式。

  初中的方法通常是作CE边上的高(就看三角形CDE,另外的别看),再用方程。为了简化,把三条边(长度定了,前面说过)DE,CE,CD分别记为C,d,e,过D做DF⊥CE与F,高记为h,设x=EF,则CF=d-x(这里埋个伏笔),在直角三角形DEF中c²-x²=h²①,在直角三角形CDF中e²-(d-x)²=h²②,联立①②解得x=(c²+d²-e²)/2d,再把结果回代入①式,就可以得到h,感兴趣可以自己算下,我在外面没笔,比较复杂,但形式应该是很漂亮的。

  回到刚才伏笔的地方,我只画了锐角三角形,其实直角更简单,那钝角呢?就是∠C是钝角时,CF=d-x不是不成立了吗?确实,这里应该改成相反数,CF=x-d,但是仅在②式中出现的(d-x)²,结果是一样的,x=(c²+d²-e²)/2d也成立,d-x=(d²+e²-c²)/2d,当d²+e²>c²时,∠C为锐角,d-x>0;当d²+e²=c²时,∠C为直角,d-x=0;当d²+e²>

  至于x=(c²+d²-e²)/2d>0的问题,因为上底比下底端,总能总到方法,将一条腰平移到上底的定点,使e的对角为锐角。

  只知道四边的边长,怎么求梯形的面积的方法就如上述步骤所示,上述过程,尽量识图通过初中知识回答。平时看题不要只针对问题本身,而应该合理联想,知识都是相通的,要不断思考,不断延伸。

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