如何判断一个函数可导?函数在某一点可导或不可导有什么区别?
高中教育 来源:网络 编辑:楠哥 2019-12-14 10:26:28

  函数的可导性是研究函数的重要一点,如何判断一个函数在某一点是可导还是不可导要求同学们掌握。这块知识点的学习,其实在高中时期会重点学习,并且是高考中一个考点和难点。在明确一个函数在某一点是可导或不可导的时候,那么你得先学懂导数是什么概念,数学中是如何定义导数的?

如何判断一个函数可导?函数在某一点可导或不可导有什么区别?

  导数是微分学中的重要概念,它是变量的变化速度在数学上的抽象。比如,物体运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,非恒稳的电流强度,化学反应速度,等等,这都是数学分析上的导数问题。

  导数的定义是这样的:函数y=f(x)在x。的某邻域内有定义。设在x。自变量x的改变量是Ax,相应函数的改变量是Ay=f(x。+Ax)-f(x。),如果Ay/Ax的极限(当Ax→0时)存在,称函数f(x)在点ⅹ。可导(或存在导数),此极限称为函数f(x)在点x。的导数,记为f'(x。) 。如果此极限不存在,称函数f(x)在点x。不可导 。

  函数在一点可导,则函数在这点连续。即 《可导→连续》。但是若函数在一点连续,函数则在这点不可导。例如,幂函数y=f(x)=x^(1/3)在点0存在切线,但切线斜率是无穷大(即y轴),故此幂函数在连续点0处不可导。

  一般的,幂函数,对数函数,指数函数,三角函数,反三角函数,双曲函数及常函数这 些初等函数在其定义域内一般是可导的。但是,有些连续函数是不可导的,像一些分段函数,在段点处要仔细判断。

  例如,函数f(ⅹ)=|x|在x=0连续,但在x=0处不可导。

  由初等函数组合成的复合函数一般也是可导的。

  总之,一般的分段函数不可导,而基本的初等函数(幂函数除外)在其定义域内一般是可导的。

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