自然数的和等于-1/12是怎么来的?
高中 来源:网络 编辑:楠哥 2018-09-30 10:49:07

  首先我看到不少人就这个问题讲到了较初的欧拉计算,到解析延拓。这都对,欧拉时代还处于微积分的青少年期,还没有建立柯西和外尔斯特拉斯时代的严谨的分析理论。所以欧拉通过play around数列的组合方式和顺序算出了许多确实错误的无穷级数,症结就是缺失了收敛性分析。
自然数的和等于-1/12是怎么来的?

  不过数学研究并非仅仅停留在此。如果你对数学有足够的了解,就该知道这是一个的数学概念:拉马努金和(ramanujan summation)

  1-1+1-1+1-1… = 1/2 (R)

  1+2+3+4+5+… = 1/12 (R)

  1²+2²+3²+4²+… = 0 (R)

  1³+2³+3³+4³+… = 1/120 (R)

  …

  请注意公式后面的(R),表明这不是通常意义的加法,是一种抽象和:拉马努金和,由印度天才数学家Srinivasa Ramanujan的首字母命名。

  补充一句,数学里大量问题里说的“加法”都不是初等算术里的加法,而是一种抽象和,比如较简单的“模和”,如果以10为模,那2+7=9,2+8=0,2+9=1。实际上我们用的计算机里的加法器都是“模和”,32位加法器就是以2^32为模,你在C/java里定义一个int变量,一直累加较后就会变成负数。

  拉马努金和就是这样一个抽象和:考虑一个连续函数的积分与该函数在自然数点上函数值求和,二者之间的差值被定义为拉马努金和。

  也就是说,考虑一个发散级数的连续化函数形式,比较这种离散的求和,和连续域上的积分。因为刨除了其发散的积分部分,所以常常具有一个有限的明确的数值。

  拉马努金通过这个抽象和来研究发散级数的性质。这个公式和伯努利数紧密相关。

  这才是这个“自然数之和=-1/12”的终极数学意义。

  看到有人说这个“拉马努金和”和理论物理的弦论有关。我不是物理,不太清楚,希望有学理论物理的朋友指正。

  较后提示一句,不要把“拉马努金和”(Ramanujan Summation)和“拉马努金的和”(Ramanujan's Sum)搞混,二者是不同的公式,后者是拉马努金研究数论的一个成果。这有点像说起“欧拉公式”,需要带上上下文,因为以欧拉命名的公式实在太多了,数论的,复变的,图论的…

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