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x^y+y^x=1方程有解吗?是多少?

小学教育 来源:未知 编辑:楠哥 2019-10-08 13:56:51 浏览:

  x^y+y^x=1方程有解吗?是多少?我一看这个问题就觉得有一些难度,全题中只有一个已知实数,那就是1。不像咱们平时所见的方程,不过刚开始看到x^y+y^x=1这个方程的时候,我还是觉得该方程有实数解。下面我来分享解决这个问题的我的思路和方法,抛砖引玉。※

  首先,我们来观察一下这个方程x^y+y^x=1,这个方程显然具有对称性,这个方程如果在x-y平面上存在实数解,那么这个解显然是关于直线y=x是对称的。也就是说,如果(a,b)是方程的解,那么(b,a)也是方程的解。因此,我们希望在x-y平面上找到它的一个解,就可以推到另外一个对称解的存在。

  那么,因为这个方程比较超越,我只能使用mathematica来做,这个数学软件中,我敲入了如下命令,用来求解这个方程(当然为了方便计算,我先把x与y的定义域局限在一个小范围里):

  ContourPlot[x^y + y^x == 1, {x, -1, 10}, {y, -1, 10}]

  我居然得到了这样一个图像:

x^y+y^x=1方程有解吗?是多少?

  从坐标上来看,好像从在x轴上,从x大约等于4.5左右开始,存在一条直线,这个时候y=0,我们发现,这些是它的解?

  显然,这些解是平庸的,比如

  (4.7,0)确实是方程的解,你可以代进入验证一下。

  问题的关键是,为什么从x大约等于4.5左右开始,存在一条直线的解?我觉得x从任何地方开始,都可以是方程的解啊。

  从直觉上来说,(a,0)都是方程的解,因为只要a是实数,那么a的0次方等于1,而0的a次方都是零,因此它们加起来就等于1。

  当然,这些解是平庸的,而非平庸的解好像是不存在的。所谓非平庸的意思是x与y都不等于零的解。

  我甚至还画出了这个函数的三维图像,我引进了一个z坐标,当z等于零的时候就回到我们的问题。

  三维图像如下:

x^y+y^x=1方程有解吗?是多少?

  从这个图像可以看出,z等于负数的时候有一些解(曲面凹进去的地方,对应非平庸解),而z等于零或者大于0的时候,没有非平庸的解。显然你提出问题的那个方程确实给出了一个临界情况。

  以上给出x^y+y^x=1方程的解法不知道同学们都看懂了没有,是否能理解我给出的解题过程。这类方程虽然不常见,但是我觉得了解一下,对你们的学习更多跟方程有关的问题还是有帮助的。

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