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过△ABC顶点A向角B、C的外角平分线作垂线AF、AE..证明EF长等于 ABC周长之半

初中教育 来源:未知 编辑:楠哥 2019-10-14 14:14:33 浏览:

  马上就要开启2019年秋季学期的期中考试了,这是一学期的中间段的小口考,重要程度仅次于期末考试。不知道各位同学们复习的怎么样了,对于定型类型的题目有没有做专门的训练。初中几何问题中经常会考一些几何证明类题目,这道过△ABC顶点A向B、C的外角平分线作垂线AF、AE,垂足是F、E,证明EF长等于 ABC周长之半。便是很典型的题目,你们知道怎么准确的证明结果吗?

过△ABC顶点A向B、C的外角平分线作垂线AF、AE..证明EF长等于 ABC周长之半

  证明:

  分别延长 AF 、BC、 AE 交于G 、H 两点,连接 EF 如下图所示:

过△ABC顶点A向B、C的外角平分线作垂线AF、AE..证明EF长等于 ABC周长之半

  ∵ BF⊥AF ∴ ∠BFG = ∠BFA = 90° ;

  ∵ BF 为△ABC 外角 ∠ABG 的角平分线,

  ∴ ∠GBF = ∠ABF

  在△GBF 和 △ABF 中,

  ∠GBF = ∠ABF,BF = BF , ∠BFG = ∠BFA = 90° ;

  ∴ △GBF ≌ △ABF (ASA)

  ∴ FG = GA , BG = BA

  ∴ 点 F 为 AG 的中点

  同理可证: 点 E 为 AH 的中点,CA = CH 。

  ∵ 在△AGH中 EF 是中位线,则有 EF 平行且等于 1/2 GH,

  ∴ EF = 1/2 GH = 1/2 (BG + BC + CH)

  ∵ BG = BA , CA = CH

  ∴ EF = 1/2 (BA+ BC + CA)

  即证 EF 的长等于△ABC 周长的一半。

  以上详细的证明过程就是过△ABC顶点A向B、C的外角平分线作垂线AF、AE..证明EF长等于 ABC周长之半这道问题的解法,同学们仔细的看一下,说不一定这次期中考试会考到。

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