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圆周率的计算经历了哪些过程?圆周率π几种算法总结

初中教育 来源:未知 编辑:楠哥 2019-11-08 11:04:36 浏览:

  圆周率是什么,是咱们平时数学所学到的π,起初我记得老师当时计算出来圆周率π的时候,似乎用的是几何圆推敲出来的。但是我的老师也说了另外的话,他说计算圆周率的方法有很多种,这里只是挑了一种学生们比较好理解的。但其实还有实验算法、计算机算法、分析算法等另外几种求圆周率π。这其中是一系列的改良过程,下面我就详细介绍一下:

  圆周率的计算过程,经历了实验算法、几何算法、分析算法和计算机算法的过程;其中,新工具的出现,对计算圆周率起了重要作用。

  实验算法

  在古时候,人们对圆周率的精度要求还不高。比如公元前1世纪左右,我国最古老的数学著作《周髀算经》,就记载着“径一周三”,也就是把圆周率近似看作“3”。

  在古巴比伦时期(公元前1900年~公元前1600年),古巴比伦人就记载了圆周率=25/8=3.125。

  古人只需要画一个圆,然后分别测量其周长和直径,就可以得到圆周率;虽然和圆周率的真实数值相差很大,但是对那时候的生产活动来说足够用了。

  但该方法对圆周率的计算精度非常有限,只能精确到圆周率的小数点后第一位,要想精确到第二位都很困难。

  几何算法

  几何算法避免了测量的误差,比如阿基米德(公元前287~212),计算圆的内切正多边形和外接正多边形,然后取其平均值,把圆周率计算到3.141851。

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  而我国的古代数学家祖冲之(429~500),利用割圆术,计算到正24576边形,把圆周率精确到小数点后第七位(3.1415926~3.1415927),这一记录保持了800多年才被欧洲人打破。

  15世纪,阿拉伯数学家卡西,把圆周率精确到17位小数。

  1596年,德国数学家鲁道夫·范·科伊伦,把圆周率精确到20位小数。

  1610年,鲁道夫·范·科伊伦耗尽毕生精力,用了10多年的时间,再次把圆周率精确到了35位,这也算是手工几何算法的极限了。

  分析算法

  进入18世纪后,数学家有了三角函数、连分数、无穷级数、微积分和虚数等工具,大量圆周率的计算公式涌现出来,大大提高了数学家计算圆周率的效率。

  比如著名的梅钦公式:

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  由英国数学家梅钦,于1706年提出,该级数的收敛速度非常快,至今也是计算机计算圆周率的主要公式之一。

  数学家Jurij Vega,在1789年,利用梅钦公式把圆周率精确到140位小数(后来得知前137位才是正确的)。

  人工计算的记录,是在1948年,美国两位数学家利用一个全新的圆周率公式,手工计算到了808位小数。

  比如我们利用虚数i的性质,可以轻松构造出许多圆周率的级数:

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  还有印度数学奇才拉马努金,仅凭冥想就能意会出许多圆周率级数,而且级数的收敛速度非常快,比如下面两个公式就是拉马努金提出来的:

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  其中第二个公式,只要输入第一项,就可以把圆周率精确到十进制的第八位:

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  分析算法的出现,让人们计算圆周率不在成问题,哪怕是手工计算,都可以轻松计算到小数点后数十位;而我们只需要精确到小数点后34位,然后用来计算宇宙周长,就可以精确一个原子的误差。

  计算机算法

  进入计算机时代,更高精度的圆周率实用意义已经不大,计算机学家更多地利用计算圆周率的程序,来检验计算机的能力。

  在1995年,三位算法学家Bailey、Borwein和Plouffe在研究计算机算法时,意外地发现了一个神奇的圆周率公式——BBP公式。

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  利用该公式,可以独立计算十六进制圆周率的任意位数的数字。

  BBP公式的证明过程如下:

圆周率的计算经历了哪些过程?几种圆周率π的计算方法总结

  也就是说:利用BBP公式,我们可以直接计算十六进制圆周率的第10亿位数字,而不需要知道10亿位前的任何一位;虽然只限于十六进制圆周率,但不得不说这真是一个神奇的公式。

  现在我们知道圆周率拍就是这样来的,经历了一系列不断精准求解的过程改良,π的值也越来越精准。

  

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