x^y+y^x=1方程有解吗?是多少?我一看这个问题就觉得有一些难度，全题中只有一个已知实数，那就是1。不像咱们平时所见的方程，不过刚开始看到x^y+y^x=1这个方程的时候，我还是觉得该方程有实数解。下面我来分享解决这个问题的我的思路和方法，抛砖引玉。※

　　首先，我们来观察一下这个方程x^y+y^x=1，这个方程显然具有对称性，这个方程如果在x-y平面上存在实数解，那么这个解显然是关于直线y=x是对称的。也就是说，如果(a，b)是方程的解，那么(b，a)也是方程的解。因此，我们希望在x-y平面上找到它的一个解，就可以推到另外一个对称解的存在。

　　那么，因为这个方程比较越，我只能使用mathematica来做，这个数学软件中，我敲入了如下命令，用来求解这个方程(当然为了方便计算，我先把x与y的定义域局限在一个小范围里)：

　　ContourPlot[x^y + y^x == 1, {x, -1, 10}, {y, -1, 10}]

　　我居然得到了这样一个图像：

　　从坐标上来看，好像从在x轴上，从x大约等于4.5左右开始，存在一条直线，这个时候y=0，我们发现，这些是它的解?

　　显然，这些解是平庸的，比如

　　(4.7，0)确实是方程的解，你可以代进入验证一下。

　　问题的关键是，为什么从x大约等于4.5左右开始，存在一条直线的解?我觉得x从地方开始，都可以是方程的解啊。

　　从直觉上来说，(a，0)都是方程的解，因为只要a是实数，那么a的0次方等于1，而0的a次方都是零，因此它们加起来就等于1。

　　当然，这些解是平庸的，而非平庸的解好像是不存在的。所谓非平庸的意思是x与y都不等于零的解。

　　我甚至还画出了这个函数的三维图像，我引进了一个z坐标，当z等于零的时候就回到我们的问题。

　　三维图像如下：

　　从这个图像可以看出，z等于负数的时候有一些解(曲面凹进去的地方，对应非平庸解)，而z等于零或者大于0的时候，没有非平庸的解。显然你提出问题的那个方程确实给出了一个临界情况。

　　以上给出x^y+y^x=1方程的解法不知道同学们都看懂了没有，是否能理解我给出的解题过程。这类方程虽然不常见，但是我觉得了解一下，对你们的学习更多跟方程有关的问题还是有帮助的。